三角比の相互関係の公式と証明

三角関数で習う公式は数が多い上に数3でも用います。特に理系の人はしっかりと公式とその証明を理解して数学を得意にする第1歩に！

$\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$

$\tan\theta={\frac{\sin\theta}{\cos\theta}}$

$1+\tan^{2}\theta={\frac{1}{\cos^{2}\theta}}$

三角比の公式の中で最も使う公式なので、九九と同じくらい当たり前に覚えているべきレベルのものです

xy平面上に半径が1の円を書き、その円周上の点をP(x,y)とし、点Pとx軸の正の向きがなす角をθとする

すると $x=\sin\theta,y=\cos\theta,{\frac{y}{x}}=\tan\theta$

と表せます。

三平方の定理より $x^{2}+y^{2}=OP^{2}$

$x=\sin\theta,y=\cos\theta,OP=1$ から

$\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$

$x=\sin\theta,y=\cos\theta,{\frac{y}{x}}=\tan\theta$ より

$\tan\theta={\frac{\sin\theta}{\cos\theta}}$

$\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ の両辺を $\cos^{2}\theta$ で割ると

${\frac{\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}}+{\frac{\cos^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}}={\frac{1}{\cos^{2}\theta}}$

$\tan\theta={\frac{\sin\theta}{\cos\theta}}$ より

$1+\tan^{2}\theta={\frac{1}{\cos^{2}\theta}}$