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三角関数の公式まとめ

数学

三角関数の公式は量も多ければ似たような公式が多く、覚えるのが大変ですよね。さらに理系の人は数3でも使うという高校数学においてしっかり押えておきたい大事な範囲です。
いま一度、公式をまとめておきましょう!

三角比の相互関係

$\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$

$\tan\theta={\frac{\sin\theta}{\cos\theta}}$

$1+\tan^{2}\theta={\frac{1}{\cos^{2}\theta}}$

三角関数の性質

$\theta+2n\pi$ の三角関数

$\sin(\theta+2n\pi)=\sin\theta$

$\cos(\theta+2n\pi)=\cos\theta$

$\tan(\theta+2n\pi)=\tan\theta$

$-\theta$ の三角関数

$\sin(-\theta)=-\sin\theta$

$\cos(-\theta)=\cos\theta$

$\tan(-\theta)=-\tan\theta$

$\theta+\pi$ の三角関数

$\sin(\theta+\pi)=-\sin\theta$

$\cos(\theta+\pi)=-\cos\theta$

$\tan(\theta+\pi)=\tan\theta$

$\theta+\frac{\pi}{2}$ の三角関数

$\sin(\theta+\frac{\pi}{2})=\cos\theta$

$\cos(\theta+\frac{\pi}{2})=-\sin\theta$

$\tan(\theta+\frac{\pi}{2})=-\frac{1}{\tan\theta}$

正弦定理

三角形ABCの一辺の長さをそれぞれa、b、cとし、それぞれの対角をA、B、Cとし、三角形ABCの外接円の半径をRとする

${\frac{a}{\sin{A}}}={\frac{b}{\sin{B}}}={\frac{c}{\sin{C}}}=2R$

加法定理

$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$

$\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$

$\tan(\alpha\pm\beta)={\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}}$

2倍角の公式

$\sin2\alpha=2\sin\theta\cos\alpha$

$\cos2\alpha=cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha$

　　　 $=1-2\sin^2\alpha$

　　　 $=2\cos^2\alpha-1$

$\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$

半角の公式

$\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}$

$\cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2}$

$\tan^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}$

3倍角の公式

$\sin3\alpha=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha$

$\cos3\alpha=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha$

積・和の公式

$\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}$

$\cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)}$

$\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)}$

$\sin\alpha\sin\beta=-\frac{1}{2}{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)}$

和・積の公式

$\sin{A}+\sin{B}=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$

$\sin{A}-\sin{B}=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$

$\cos{A}+\cos{B}=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$

$\cos{A}-\cos{B}=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$

三角関数の合成

$a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha)$

ただし角αは

$\sin\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ ， $\cos\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$

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