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三角関数の加法定理の公式と証明

数学

三角関数で習う公式は数が多い上に数3でも用います。特に理系の人はしっかりと公式とその証明を理解して数学を得意にする第1歩に！

加法定理

$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$

$\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$

$\tan(\alpha\pm\beta)={\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}}$

(複号同順)

証明

まずは $\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$ について

AB²を点と点の距離の公式と余弦定理の2通りで表し、等号で結びます。

-点と点の距離の公式- $(\cos\beta-\cos\alpha)^{2}+(\sin\beta-\sin\alpha)^{2}$

-余弦定理- $1^{2}+1^{2}-2\cdot1\cdot1\cdot\cos(\alpha-\beta)$

等号で結ぶと

$(\cos\beta-\cos\alpha)^{2}+(\sin\beta-\sin\alpha)^{2}\\=1^{2}+1^{2}-2\cdot1\cdot1\cdot\cos(\alpha-\beta)$

$(\sin^{2}\beta+\cos^{2}\beta)+(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha)\\-2(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)\\=2-2\cos(\alpha-\beta)$

$\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ より

$2-2(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)\\=2-2\cos(\alpha-\beta)$

したがって $\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$

-βをβに置き換えると

$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$

sin(α+β)について

$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$ のαを $\alpha+{\frac{\pi}{2}}$ に置き換えると

$\cos{(\alpha+{\frac{\pi}{2}})+\beta}\\=\cos(\alpha+{\frac{\pi}{2}})\cos\beta-\sin(\alpha+{\frac{\pi}{2}})\sin\beta$

ここで

$\cos{(\alpha+{\frac{\pi}{2}})+\beta}\\=\cos{(\alpha+\beta)+{\frac{\pi}{2}}}=-\sin(\alpha+\beta)$

…①

$\cos(\alpha+{\frac{\pi}{2}})=-\sin\alpha,\\\sin(\alpha+{\frac{\pi}{2}})=\cos\alpha$

これらを①に代入すると $-\sin(\alpha+\beta)=-\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$

したがって $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$

βを-βに置き換えると

$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos(-\beta)+\cos\alpha\sin(-\beta)\\=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$

tan(α+β)について

$\tan\theta={\frac{\sin\theta}{\cos\theta}}$ より

[tex:\tan(\alpha+\beta)={\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta

)}}]

よって $\tan(\alpha+\beta)={\frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}}$

右辺の分母と分子を\cos\alpha\cos\betaで割る

$\tan(\alpha+\beta)={\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}}$

覚え方

*プラスかマイナスどちらかだけ覚えて、もう一方は符号を全て逆にするだけです！

サチコ小林・小林サチコ

$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$

小林小林・サチコサチコ

$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$

1マイタンタン、タンプラタン

$\tan(\alpha+\beta)={\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}}$